Wavelets und Fourier-Transformation

Wavelets und Fourier-Transformation


Jean Baptiste Fourier
Gibbssches Phänomen

Da sehr viele Besucher diese Seiten wegen Informationen zu Wavelets oder zur (diskreten) Fouriertransformation gefunden haben, will ich hier noch eine kleine Einstiegshilfe geben.

Infos zu meiner Diplomarbeit zum Thema “Bildverarbeitung mit Fourier- und Wavelettransformation” finden Sie hier.

Da sich der Schwerpunkt meiner Seiten auf die Softwareentwicklung mit C++ verlagert hat, gibt es hier keine Quelltexte oder Tutorials zur DFT oder Wavelets, mit einer Ausnahme: ich biete einen kleinen Vortrag zum Thema “DFT - diskrete Fouriertransformation” (PDF-Format, 384kB) zum Download an. Er enthält auch einen Quellcode zum FFT-Algorithmus. Achtung: Zielgruppe Techniker, also nicht allzu mathematisch gehalten.

Der folgende Artikel von Christian Hahn gibt eine sehr schöne Einführung in die Anwendung der Wavelet-Kompression im Rahmen der Bilddatenreduktion. Sehr anschaulich auf 21 Seiten dargestellt:
Christian Hahn, Wavelet-basierte Bilddatenkompression (PDF, 1MB)

Für jeden Interessenten an dieser Thematik kann ich die folgenden Bücher ausdrücklich empfehlen:

Barbara Burke Hubbard Barbara Burke Hubbard: “Wavelets: Die Mathematik der kleinen Wellen”
Das ideale Buch für alle, die sich erst mal vorsichtig herantasten wollen. Sicherlich gehört es eher in den Bereich “nichtwissenschaftlicher Literatur”, aber der Leser findet an einfachen physikalischen Beispielen und Anwendungen einmal erläutert, wie die Theorie der Fourieranalysis funktioniert, welche Probleme es gibt, und wie man zu den Wavelets kommt. Sollte man gelesen haben, bevor man mit den Mathematikbüchern zum Thema anfängt, gerade wenn man sich noch etwas verloren fühlt auf diesem Gebiet.
Elbert Oran Brigham Elbert Oran Brigham: “ FFT-Anwendungen”
Ein Standardwerk für alle, die eine DFT auf einem Rechner implementieren müssen. Es gibt nach wie vor keinen anderen Titel, der sich so ausführlich mit den Algorithmen der DFT und der FFT befaßt. Außerdem verständlich geschrieben, so daß auch Nichtmathematiker in der Lage sind, entsprechende Programme zu implementieren.
Wickerhauser Mladen Victor Wickerhauser: “Adaptive Wavelet-Analysis. Theorie und Software”
Hierzu kann man das gleiche sagen, wie zum vorigen Titel, nur daß es sich diesmal um Wavelets und Wavelettransformationen handelt. Alle Algorithmen schön sauber dargestellt, allerdings sollte man die Grundlagen schon ein wenig besser verstanden haben. Eine echte Katastrophe, daß dieser Titel nicht mehr vertrieben wird und nur noch gebraucht oder in Büchereien zu finden ist.
(Übrigens ist in einem Algorithmus zur Transformation ein netter Druckfehler drin, der zu falschen Ergebnissen führt *g*. Das hat mich ein paar Tage gekostet.)
Alan Oppenheim, Alan Willsky Alan Oppenheim und Alan Willsky: “Signale und Systeme”
Meiner Meinung das beste Buch zum Themenkomplex Systemtheorie. Erläutert mit unglaublich vielen Grafiken sehr schön den gesamten Themenkomplex, der sich um die Herren Fourier und Laplace rankt. Geht außerdem ebenfalls auf den Unterschied zwischen kontinuierlichen (analogen) und diskreten (digitalen) Problemstellungen ein, behandelt auch die z-Transformation und den Entwurf digitaler Filter. Leider keine Infos zu Wavelets oder zu Algorithmen, aber ansonsten eine unverzichtbare Sammlung der gesamten Grundlagen. Zielgruppe sind Ingenieure und Mathematiker in der Anwendung, das Buch kommt also ohne allzu tiefgreifende mathematische Sätze und Formulierungen aus - ein weiterer Pluspunkt.

Und hier noch ein paar Links zum Thema Wavelets/Fourier im Web:

... und dann noch der (nicht 100% ernstgemeinte) Schnelleinstieg in die Theorie der Fourieranalysis:

Meistens berührt man die Thematik dann, wenn man periodische Vorgänge finden oder untersuchen will, evtl. auch um Abweichungen von einem normalen Verlauf zu entdecken.

Wenn man sich einen Kurvenverlauf über der Zeit vorstellt, dann kann man sich auch denken, daß man diese Kurve durch übereinanderlegen kleinerer Einzelkurven erhalten hätte.

Nun stelle man sich vor, diese Einzelkurven wären auf Overheadfolien gezeichnet. Legt man alle Folien übereinander, so erhält man den normalen Verlauf über der Zeit, wie man ihn kennt und sieht, z.B. auf einem Plotter oder einem Oszilloskop (kleiner Einwand: ist natürlich nicht 100%tig korrekt, da man die Folien hintereinander sieht, aber eigentlich die Kurven addieren muß - die Idee zählt).

Jetzt machen wir eine Fouriertransformation: wir schauen uns die Folien, so wie sie übereinander liegen, von der Seite an. Und benutzen die Nummer der Folie als Index auf der X-Achse.

Das ist so die Idee der FT - vielleicht etwas simplifiziert *g*.

Und für die Meßtechnik bzw. die Auswertung der Meßtechnik mußt man sich jetzt schon merken: wenn man z.B. alle 60 Sekunden eine Messung vornimmt, dann kann man nur Aussagen über Ereignisse der Mindestlänge 120 Sekunden machen!

Alles andere wäre falsch. Also immer schön doppelt so schnell messen, wie man auswerten will. Diesen Fehler machen viele: erst wird gemessen, dann ausgewertet. Und man merkt erst jetzt (oder schlimmer gar nicht), daß man besser anders oder mehr gemessen hätte.

Und das war schon alles... weiß auch nicht, warum die da 500 Bücher drüber schreiben... ;)

Fragen, Fehlermeldungen, Tipps und Hinweise per Mail an Marcus Bäckmann, danke. Aktualisierung am 19.02.2017

© Marcus Bäckmann, www.baeckmann.de/wavelet_fourier.php, Version vom 19.02.2017

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